S'exercer

Température d'antenne

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 45 min

Il a été vu que la luminance spectrale du corps noir s'exprime, en fonction de la fréquence par :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ {2 h c^{-2} \nu^{3}\over \exp\displaystyle{h\nu\over k_BT} -1}$

Dans cet exercice, on se propose de montrer comment cela conduit les radio-astronomes à exprimer une luminosité radio comme une température, et donc à l'exprimer en Kelvin.

Les conditions d'observation de l'image, définies par la diffraction, énoncent que le faisceau élémentaire observable a une étendue $S \Omega$ égale à $\lambda^{2}$ , et que la mesure ne peut donner accès qu'à une seule direction de polarisation. L'intégration sur et sur $\Omega$ permet de passer de la luminance spectrale à la puissance spectrale.

La surface représente ici la surface collectrice, et $\Omega$ l'angle solide sous lequel est vue la source élémentaire.

Question 1)

Montrer que, dans le domaine des radiofréquences, la fréquence d'observation $\nu$ , typiquement de l'ordre du GHz, vérifie pour les températures, même froides, rencontrées dans l'Univers :

$h\nu \ll k_B T$

On donne $h = 6\ 10^{-34}\ \mathrm{SI}$ , et $k_B= 1.3\ 10^{-23} {\,\mathrm{J}} {\,\mathrm{K}}^{-1}$ . On considère comme objet un nuage moléculaire à 10 K, et un rayonnement aux longueurs d'onde supérieures à 1 cm.

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Question 2)

En déduire l'approximation de la loi de rayonnement dans le domaine radio :

${{ \mathcal{B}}}_\nu (T) \ =\ 2 c^{-2}\ \nu^{2}\ k_BT$

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Question 3)

Montrer que l'intégration de la luminance spectrale ${ \mathcal{B}}_\nu$ , vis à vis des variables angulaires et de surface, conduit à une densité spectrale de puissance égale à 2 k T

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Question 4)

Déterminer alors la puissance reçue dans l'intervalle de fréquence $\Delta \nu$ .

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