S'exercer

Equilibre thermique d'une planète

Difficulté : ☆☆ Temps : 60 min

On s'intéresse au bilan radiatif d'une planète en orbite circulaire de rayon autour de son étoile. On suppose l'espace interplanétaire vide, ce qui entraîne la conservation du flux stellaire intégrée sur toute surface entourant l'étoile. La rotation propre de la planète est suffisamment rapide pour que l'on puisse considérer sa température $T _{\mathrm{P}}$ comme uniforme sur toute la surface. On néglige toute autre source d'énergie que stellaire.

La planète réfléchit une fraction du rayonnement solaire, et en absorbe une fraction (1-A) , où est l'albédo. On peut, en première approximation à basse résolution spectrale, considérer ce spectre comme la superposition du spectre de 2 corps noirs, dont on cherche à déterminer les températures. On note $\ell _{\mathrm{r}}$ la composante énergétique directement réfléchie, et $\ell _{\mathrm{a}}$ la composante absorbée puis rerayonnée.

Question 1)

Montrer que la puissance interceptée par la planète vaut :

$\ell _{\mathrm{P}} = L\ {R^{2}\over 4 \ a^{2}}$

où représente le rayon planétaire.

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Question 2)

Calculer le rapport $\ell _{\mathrm{P}} / L$ dans le cas de Jupiter et de la Terre.

Objet	(UA)	(km)
Jupiter	5.2	71000
Terre	1	6400

Pour mémoire $\L_\odot = 4\ 10^{26} {\,\mathrm{W}}$ .

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Question 3)

La planète étant à l'équilibre thermodynamique, exprimer $\ell _{\mathrm{r}}$ et $\ell _{\mathrm{a}}$ en fonction de la luminosité totale $\ell _{\mathrm{P}}$ et de l'albédo .

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Question 4)

Quelle est la température $T _{\mathrm{r}}$ associée au rayonnement réfléchi $\ell _{\mathrm{r}}$ , assimilé à un rayonnement de corps noir ?

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Question 5)

Montrer que la température associée à la composante $\ell _{\mathrm{a}}$ , voisine de la température d'équilibre de la planète, est alors:

$T _{\mathrm{P}}\ =\ (1-A)^{1/4} \left({ R_\star \over 2 a }\right)^{1/2} T_\star$

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Question 6)

Faire l'application numérique pour une exoplanète avec une albédo ${A}\simeq 0.5$ et un demi-grand axe $a=0.05 {\,\mathrm{UA}}$ . Pour l'étoile, on prendra : $T_\star = 5500 {\,\mathrm{K}}$ et $R_\star = 7\ 10^5 {\,\mathrm{km}}$ .

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Question 7)

En déduire la longueur d'onde $\lambda _{\mathrm{P}}$ correspondant au maximum de l'émission planétaire. A quel domaine spectral cette température correspond-elle?

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