L'intégration du produit vectoriel est immédiate, le moment cinétique {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma} étant un vecteur constant :

\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma} s'intègre en \mathbf{v} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}.

Intégration du 2e membre :

{\mathcal{G}} M m {\dot\theta} \mathbf{u}_\theta s'intègre en {\mathcal{G}} M m \mathbf{u} _{\mathrm{r}}.

Et il ne faut pas oublier la constante d'intégration, vectorielle, ici dénommée \mathbf{e}:

\mathbf{v} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma} = {\mathcal{G}} M m ( \mathbf{u} _{\mathrm{r}} + \mathbf{e})

Le vecteur \mathbf{e} est perpendiculaire au vecteur moment cinétique, donc dans le plan de la trajectoire.