Analyse par transformée de Fourier : signal : Page pour l'impression

Intérêt de la transformée de Fourier

La TF permet la recherche de composantes périodiques dans un signal. Les signaux ci-contre sont équivalents. L'un correspond à une série temporelle, l'autre à son spectre de Fourier.

Série temporelle et son spectre

La série temporelle (extrait donné en bleu) ne montre rien de définissable. Son spectre de Fourier dévoile en revanche les fréquences propres qui constituent le signal, en les distinguant clairement du bruit.

Crédit : ASM

Exemple : signal sismique

L'astérosismologie est un sujet en plein développement, dont les observations se basent sur de longues séries temporelles, pour l'identification des modes propres d'oscillations dans le spectre de Fourier.

Série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile $\alpha$ Cen.

Crédit : ESO

Spectre de Fourier de la série temporelle de données astérosismiques enregistrées à l'ESO, pendant 11 nuits, sur l'étoile alpha Cen.

Crédit : ESO

Apprendre

Objectifs

Utiliser la TF pour la recherche de phénomènes périodiques.

Mesure

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale , l'analyse par transformée de Fourier se réécrit :

$\tilde s (\nu) \ = \ { }\sum_{i=1}^{N}\ s(t_i) \ \exp (2\pi i \nu t_i)\ \delta t_i$

avec t_i les dates individuelles et $\delta t_i = t_i - t_{i-1}$ . Si l'enregistrement est suffisamment régulier :

$\delta t_i \simeq \delta t = {T\over N}$

Les durées et $\delta t$ définissent les principales propriétés de l'analyse de Fourier.

Résolution en fréquence

Un signal observé durant une durée totale permet une résolution en fréquence 1/T .

Fréquence de coupure

Un signal observé avec un échantillonnage $\delta t$ permet de suivre les fréquences jusqu'à la coupure $1/2\delta t$ . Le facteur 2 provient de la nécessité d'observer sur 2 mesures distinctes une demi-période négative et une demi-période positive.

Echantillonnage

L'observation de phénomènes variables doit permettre :

Un échantillonnage suffisamment rapide de la série temporelle, afin d'avoir accès aux variations les plus rapides.
Une durée d'observation suffisamment longue pour suivre une période entière d'un phénomène périodique.

A retenir

Si l'on enregistre une série temporelle de signaux, sur une durée totale et avec un échantillonnage $\delta t = T/N$ , on peut alors distinguer sans ambiguïté N/2 fréquences, entre 1/T et N/2T .

Simuler

Résolution

Pour une série temporelle, la résolution en fréquence du spectre est d'autant meilleure que la base de temps d'observation est plus longue.

TF et résolution

La résolution en fréquence, d'autant plus fine que la série temporelle initiale est longue, permet de dévoiler peu à peu la richesse du spectre.

Crédit : ASM

Pour une image, on relie la fréquence de coupure spatiale à la résolution spatiale .

TF et fréquence de coupure

M31, vue avec un nombre plus ou moins grand de fréquences spatiales (spectre de Fourier 2-D à gauche, image reconstruite à droite).

Crédit : ASM

S'exercer

Pulsation de coupure

Difficulté : ☆☆ Temps : 30 min

On échantillonne un signal temporel avec un pas de temps $\delta t$ . On définit la pulsation $\omega _{\mathrm{c}} = \pi / \delta t$ .

Question 1)

Montrer qu'il y a confusion entre les spectres de puissance des signaux périodiques de pulsation $\omega$ et $\omega + 2k \omega _{\mathrm{c}}$ ou $2k \omega _{\mathrm{c}} - \omega$ , où est un entier