S'exercer

Le vecteur excentricité

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 40 min

Une façon très performante de faire de la physique consiste à associer à une loi physique un invariant.

Pour une particule dans un champ de force gravitationnel, le champ de force étant à circulation conservative (voir la signification de ces termes dans le cours de physique), l'énergie mécanique se conserve ; la force étant centrale, le moment cinétique se conserve.

Le but de cet exercice est de montrer quel invariant est associé au fait que le module de la force gravitationnel varie comme l'inverse du carré de la distance. Il permet par ailleurs de retrouver l'équation de la trajectoire elliptique d'un satellite dans un champ de force central, moyennant un peu de gymnastique calculatoire. On considère un satellite, de masse , dans le champ de force central d'un corps de masse . On repère sa position par le vecteur radial $\mathbf{r} = r \mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ . On note $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ le vecteur orthonormé normal au plan de la trajectoire, et portant le moment cinétique du satellite, tel que le trièdre $( \mathbf{u} _{\mathrm{r}},\ \mathbf{u}_\theta,\ \mathbf{u} _{\mathrm{z}})$ forme un trièdre orthonomé direct.

Question 1)

Exprimer les vecteurs accélération $\mathbf{a}$ et moment cinétique ${\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ dans la base ( $\mathbf{u} _{\mathrm{r}}$ , $\mathbf{u}_\theta$ , $\mathbf{u} _{\mathrm{z}}$ ).

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Question 2)

On construit le produit vectoriel $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ . Donner son expression en fonction du vecteur $\mathbf{u}_\theta$ .

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Question 3)

Intégrer l'équation précédemment obtenue pour $\mathbf{a} \wedge {\sigma\hspace{-0.58em}\sigma\hspace{-0.59em}\sigma}$ .

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Question 4)

On multiplie scalairement l'équation précédemment obtenue par le vecteur position $\mathbf{r}$ . Montrer que ceci permet de retrouver l'équation de la trajectoire