Étude d'une tornade

Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Auteur: EM

Modèle simplifié d'une tornade

Difficulté : ☆☆☆ Temps : 1 h

On modélise une tornade par une circulation tangentielle $v_{\theta}(r)\vec{u}_{\theta}$ autour d'un centre. Le rayon caractéristique de la tornade est défini par tel que : pour r<R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = 2 \omega \vec{k}$ et pour r>R , $\vec{\nabla} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ .

Question 1)

À l'aide du théorème de Stokes, donner l'expression de $v_\theta(r)$ en tout point de l'espace. Exprimer en particulier la vitesse maximale $v_{\mathrm{max}}$ en fonction de $\omega$ et de . Où est-elle atteinte ?

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Question 2)

En pratique, est inférieur au kilomètre et $v_{\mathrm{max}}$ de l'ordre de 100 m/s. Quelle approximation est la plus justifiée : cyclostrophique ou géostrophique ?

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Question 3)

Exprimer alors une équation différentielle portant sur la pression P(r) . On considèrera par la suite que $P(r \to \infty) = P_0$ .

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Question 4)

On considère la masse volumique $\rho$ de l'atmosphère constante. Intégrer alors cette équation différentielle et exprimer $\Delta P = P(r=0) - P_0$ en fonction de $\omega$ , $\rho$ et , puis de $\rho$ et $v_{\mathrm{max}}$ . Justifier le signe de $\Delta P$ .

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Question 5)

Application numérique Exprimer $\rho$ à la surface pour la Terre et pour Mars à l'aide de la loi des gaz parfaits. À l'aide des données du cours, calculer alors $\Delta P/P_0$ pour une tornade terrestre avec $v_{\mathrm{max}} = 80\,\mathrm{m/s}$ . En supposant la même valeur de $\Delta P/P_0$ sur Mars, estimer alors $v_{\mathrm{max}}$ sur Mars.

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