Température d'équilibre sans atmosphère

Auteur: EM

Cette page développe de façon quantitative les notions vues de façon qualitative ici.

Détermination du flux incident sur la planète

Puissance lumineuse émise par l'étoile : elle s'obtient au moyen de la loi de Stefan-Boltzmann, de la température et de la superficie de la photosphère de l'étoile (sa "surface" visible) : $\mathcal{P}_{*} = 4 \pi {R_*}^2 \times \sigma {T_*}^4$
Flux reçu au niveau de l'orbite de la planète : en supposant le milieu interplanétaire transparent, la puissance émise par l'étoile se dilue (mais sans absorption) sur des sphères concentriques à l'étoile de plus en plus grandes. En notant la distance de l'étoile à la planète, on obtient alors un flux (puissance par unité de surface réceptrice) $F = \frac{\mathcal{P}_*}{4 \pi d^2} = \left( \frac{R_*}{d} \right)^2 \sigma {T_*}^4$

Bilan de puissance

Puissance reçue par la planète : l'étoile étant en général assez éloignée de la planète ( $d \gg R_*$ ), les rayons qu'elle émet peuvent être considérés comme parallèles. La façon la plus simple de calculer cette puissance reçue consiste donc à multiplier le flux par la surface interceptant toute la lumière reçue par la planète à angle droit des rayons. Cette surface consiste donc ici en un disque du rayon de la planète, d'où $\mathcal{P}_i = F \times \pi R^2$
Puissances réfléchies et absorbées par la planète : en vertu de la définition de l'albédo bolométrique , la proportion réfléchie de la puissance incidente, la partie absorbée représente donc le complémentaire, soit $\mathcal{P}_{\mathrm{abs}} = \left( 1 - A \right) \mathcal{P}_i$ .
Puissance rayonnée thermiquement par la planète : en supposant que la surface de la planète à une température uniforme $T_{\mathrm{eq}}$ se comporte comme un corps noir aux longueurs d'ondes considérées, cette puissance rayonnée vaut alors $\mathcal{P}_{\mathrm{th}} = \sigma {T_{\mathrm{eq}}}^4 \times 4 \pi R^2$ puisque l'ensemble de la planète rayonne.

Expression de la température d'équilibre

Le bilan radiatif à l'équilibre imposant l'égalité entre la puissance rayonnée par la planète et la puissance absorbée par la planète, on obtient alors l'équation suivante :

$\pi R^2 \left(1 - A \right) F = 4 \pi R^2 \sigma {T_{\mathrm{eq}}^4$

qui se résout directement, après simplification du rayon de la planète (ce qui signifie qu'en première approximation, la température d'une planète ne dépend pas de sa taille) en :

$T_{\mathrm{eq}} = \left[ \frac{\left(1 - A\right) F}{4 \sigma} \right]^{1/4} = \sqrt{\frac{R_*}{d}} \left( \frac{1-A}{4} \right)^{1/4} T_*$

ce qui permet de constater que cette température décroît avec la distance à l'étoile, et est proportionnelle à celle de l'étoile. Ainsi, toutes choses égales par ailleurs, pour une étoile naine rouge d'une température moitié de celle du Soleil, il faut pour conserver une température d'équilibre donnée se rapprocher de l'étoile d'un facteur quatre : on peut d'ores et déjà affirmer que les zones habitables autour des petites étoiles de faible température (naines rouges) sont très proches de ces dernières. Notons au passage que la température d'équilibre d'une planète est bornée par celle de son étoile, plus précisément comprise entre $0\,\mathrm{K}$ (à très grande distance) et $0,7 \times T_*$ à la limite où l'orbite de la planète est tangente à son étoile (et la planète de rayon négligeable devant l'étoile).