Ellipses, paraboles et hyperboles : Page pour l'impression

Diverses coniques, selon l'excentricité

: du cercle e=0

, à l'ellipse 0<e<1

, la parabole e=1

et l'hyperbole e>1

.

Crédit : ASM

Coniques

Dans le système à 2 corps, les orbites accessibles sont des coniques. Ce terme provient du fait que ces courbes correspondent aux intersections possibles d'un cône de révolution avec un plan.

Une ellipse vue dans son plan, et projetée sur le plan du ciel, avec les axes principaux (en orange) et le foyer (croix). La projection du vrai demi-grand axe ne coïncide clairement pas avec le demi-grand axe de l'ellipse projetée. 0 correspond au centre (position conservée par projection), F au foyer occupé par la composante principale (non conservée), et P le périastre.

Crédit : ASM

Projection d'une orbite elliptique

Les orbites elliptiques observées n'ont aucune raison d'être dans le plan du ciel ; seule leur projection est accessible. Ceci pose problème, car ni l'excentricité ni le demi-grand axe sont conservés par projection. Retrouver ces paramètres nécessitent une reconstruction sérieuse.

Restent néanmoins invariant par projection : le centre, et le rapport OF/OP, qui donne l'excentricité de l'orbite dans son plan

Objectifs

Présentation des éléments définissant les trajectoires possibles dans le système à 2 corps.

Nature de l'orbite selon l'excentricité ou l'énergie mécanique totale
trajectoire	mouvement	énergie mécanique
cercle	lié	minimale et
ellipse	lié
parabole	libre
hyperbole	libre

Nature de l'orbite selon l'excentricité, dans le cadre du système à 2 corps. La valeur de l'énergie mécanique suppose une référence des énergies potentielles nulle à l'infini.

Trajectoires

Les trajectoires qui sont solution du problème à 2 corps dépendent de l'énergie mécanique totale du système et de son moment cinétique, et peuvent être circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques.

En coordonnées polaires, la trajectoire d'un système dans le cadre du problème à 2 corps a pour équation paramétrique :

$r = {p\over 1+e \cos \theta}$

Cette expression peut être obtenue à partir des équations du mouvement du système à 2 corps par l'étude des équations de Binet (voir un cours de physique), ou par le vecteur excentricité.

Deux paramètres suffisent à définir la trajectoire dans son plan.

L'excentricité définit la nature de la conique.
Le paramètre est une longueur reliée au demi-grand axe et à l'excentricité $p = a(1-e^{2})$ .

Eléments d'une ellipse : centre

, foyer

, grand axe

, péri- et apoastre.

Crédit : ASM

Péri et apoastre : vocabulaire
astre	périastre	apoastre
Soleil	périhélie	aphélie
Terre	périgée	apogée

Eléments de la trajectoire

Le rayon vecteur $\mathbf{r}$ est défini par rapport au foyer de l'ellipse définissant le centre de force, et non par rapport au centre .
Le point le plus proche du foyer est le périastre ; le point le plus éloigné l'apoastre.
Le demi-grand axe vérifie , avec et les rayons des péri- et apoastres
Le paramètre de l'ellipse vérifie $p = a\ (1-e^{2})$
La distance du centre au foyer vaut $OF = e\ a$

Exemples

Dans le système solaire, plus un objet est massif, plus sa trajectoire tend à être circulaire ; les astéroïdes ont des trajectoires généralement plus elliptiques que la plupart des planètes.
Les comètes de longue période ont des trajectoires très elliptiques.
Les comètes de très longue période ont des trajectoires souvent indéterminées, en fait très sensibles aux perturbations gravitationnelles.